Résoudre des équations diophantiennes "à la Fermat"

Le but de cet exposé est de donner une introduction gentille aux variétés abéliennes, et notamment à leurs aspects arithmétiques. Partant de quelques exemples concrets, on verra que la recherche des solutions entières et rationnelles de plusieurs équations diophantiennes peut se ramener à l'étude de la structure de certains groupes abéliens. Je vais en particulier présenter le cas des courbes elliptiques, et parler de la difficulté de determiner ce qu'on appelle leur rang de Mordell-Weil ; cela sera aussi l'occasion pour décrire la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer. Ensuite, selon le temps, je parlerai du cadre plus général des jacobiennes des courbes, et d'une technique (la "descente", à l'origine introduite par Fermat) qui permet de calculer le rang de Mordell-Weil dans des tas de cas particuliers.